Čo je numerika
Numerika je odbor matematiky, ktorý sa zaoberá približným riešením rôznych matematických problémov. Tu sa pre krátkosť času obmedzíme len na približné riešenie nelineárnej rovnice.
Rovnica
Nech y=f(x), je funkcia definovaná na intervale <a,b> a je na ňom spojitá. Nech aspoň raz prechádza cez os x. Vzťah f(x)=0, budeme nazývať rovnica o jednej neznámej a x budeme volať neznáma.
Koreň
Číslo k nazveme koreňom práve vtedy, keď f(k)=0 je pravdivý výrok, resp. [k,0] patrí do množiny bodov funkcie y=f(x).
Približné riešenie
Číslo p nazveme približným riešením, ak spĺňa niektorú z nasledových podmienok:
  1. abs(k-p) < eps1
  2. abs(v(k) < eps2
  3. sú splnené podmienka 1 aj podmienka 2
kde eps1, eps2 sú požadované presnosti hľadaného riešenia. V praxi sa najviac používa podmienka 1, ktorá hovorí, že približný koreň nesmie byť od exaktného "moc" ďaleko.
Metódy hľadania približného riešenia
Na rozdiel od presného riešenia, ktoré vieme určiť v niektorých prípadoch vzorcom - napr. kvadratická rovnica - hľadanie približného riešenia spočíva v upresňovaní nejakého odhadu riešenia. Majme danú rovnicu f(x)=0
interval <a,b>, kde sa nachádza minimálne jeden koreň
požadovanú presnosť eps1
odhad x0 z intervalu <a,b>

Vytvoríme "lepši" odhad x1, potom "ešte lepší" x2 atď. Tieto odhady vylepšujeme pokiaľ nevieme zaručiť že už sme od koreňa vzdialený o menej ako o eps1. Posledný odhad xn potom vyhlásime za približný koreň.
Metódy riešenia nelineárnej rovnice môžme rozdeliť podľa viacerých hľadísk
Metódy vždy konvergentné
Obyčajne pomalšie, ale vždy idúce k cieľu. Používame ich ak interval, kde hľadáme koreň je moc veľký a funkcia sa na ňom chová moc "divoko" resp. nemáme o nej žiadne vedomosti o jej priebehu. Patria sem polenie intervalu, metóda tetív.
Metódy nie vždy konvergentné
Zato, že sa vedia k cieľu rútiť väčšími rýchlosťami, platia tým, že niekedy sa rozbehnú aj nesprávnym smerom. Všeobecne ale platí, že ku každej funcii existuje okolie koreňa k v ktorom už táto metóda vždy konverguje - ide ku koreňu. Patrí sem upravená metóda tetív a metóda dotyčníc - Newtonova metóda.
Porovnávanie metód
Metódy budeme porovnávať podľa toho, koľko krát sa pri danej metóde musí počítať hodnota funkcie f(x), aby sa získal koreň s danou presnosťou.
Metóda polenia intervalov
Majme danú rovnicu f(x)=0
- interval <a,b>, taký že f(a)*f(b) <0, čím je zaručená existencia koreňa na intervale.te
- požadovanú presnosť eps1 - povolenú vzdialenosť od koreňa
- odhad x0 z intervalu <a,b> volíme stred intervalu

ak je interval menší ako 2*eps1, tak zrejme platí |x0-k|<eps1 a teda náš odhad spĺňa požadovanú podmienku, ak je väčší hľadáme na intervale polovičnej dĺžky oproti <a,b>. Vyberieme tú polovicu <a,b>, ktorá má v krajných bodoch opäť opačné znamienka funkčných hodnôt. Tento postup opakujeme, pokiaľ dĺžka vyšetrovaného intervalu je väčšia ako 2*eps1.
Metóda tetív
Myšlienka spočíva v tom, že štatisticky možno predvídať, že koreň bude bližšie ku tomu kraju intervalu, ktorého vzdialenosť funkčnej hodnoty od osi x je menšia.
Geometricky to znamená, že položíme cez body [a,f(a)], [b,f{b)] priamku a jej priesečník x0 určíme za odhad riešenia a vytvoríme nový interval podobne ako v metóde stredov. Z intervalov <a,x0>, <x0,b> vyberieme ten ktorý má opačné znamienka na koncoch. Takto vzniká postupnosť odhadov x0,x1,x2,...xn Proces tvorby odhadov zastavíme vtedy, keď po sebe idúce členy tejto postupností sa od seba líšia o menej ako eps1. Vo veľkej väčšine prípadov je tým aj zaručená podmienka |xn-k|<eps1, táto podmienka sa často kombinuje s podmienkou 2.
Rovnica priamky: y=f(a)+(f(b)-f(a))/(b-a)*(x-a)
y položíme nule a vypočítame x: x=(f(b)*a - f(a)*b)/(f(b)-f(a))
Upravená metóda tetív
Úprava spočíva v tom, že pri voľbe intervalu, kde hľadáme koreň sa nestaráme o zachovanie rôznych znamienok. Týmto získame väčšiu efektívnosť ale zaplatíme tým, že metóda nemusí vždy konvergovať. Vytvárame postupnosť odhadov koreňa x0,x1,x3,..., kde x0=a,x1=b, xi+1=(f(xi)*xi-1-f(xi-1)*xi)/(f(xi)-f(xi-1)*) V praxi to používame tak, že do k*eps1 necháme pracovať metódu tetív a potom prepneme na upravené tetivy.
Metóda dotyčníc - Newtonova metóda
Majme prvý odhad riešenia x0, zostrojíme v bode [x0,f(x0)] dotyčnicu a jej priesečník s osou x bude nový odhad koreňa. Matematicky zapísané
xi+1=xi-f(xi)/f'(xi)
Táto metóda na výpočet ďalšieho odhadu potrebuje vedieť vypočítať deriváciu funkcie. Metóda je veľmi rýchla ale nemusí vždy konvergovať.
Použitie:
Metódu je možné použiť aj na výpočet komplexných koreňov, len výpočet nového x musí prebehnúť v komplexnej aritmetike.
Táto metóda sa používa aj na výpočet odmocnín z čísla a. Vytvoríme rovnicu x2-a=0 a počiatočný odhad dáme x0=1.
xi+1=xi-f(xi)/f'(xi)=xi-(xi*xi-a)/(2*xi)
=(a+xi*xi)/(2*xi)
Pre a=10 a presnosť eps1=1.e-4 sa vytvorí nasledovná postupnosť odhadov 

      1.0000000000E+00
      5.5000000000E+00
      3.6590909091E+00
      3.1960050819E+00
      3.1624556228E+00
      3.1622776652E+00
      3.1622776602E+00
Vidíme, že keď Newton "chytí" stopu ide k cieľu veľmi rýchlo a jeho rýchlosť rastie s približovaním. Táto metóda výpočtu odmocnín konverguje pre ľuvoľné a>0 a pre ľubovoľné x0>0.
Úlohy
  1. Porovnajte efektívnosť metód pri hľadaní koreňov rovnice sin(x)-x/2=0 na intervale <pi/2,pi>
  2. Upravte Newtonovu metódu pre výpočet koreňov polynómu, kde koeficienty polynomu aj x0 zadáme z klávesnice
  3. Vypočítajte tretiu odmocninu zo 100 s presnosťou na 5 desatinných miest
  4. Nájdi komlexný koreň rovnice x3-7*x2+17*x+25=0 a x0=2+2i s presnosťou eps1=1.e-4